2022 年 11 月 8 日上午，由北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院和北京國際數(shù)學(xué)研究中心舉辦的面向北大師生的學(xué)術(shù)報告《關(guān)于朗道-西格爾零點猜想》。同時該報告也通過 B 站等平臺向公眾進行開放，線上共吸引了大約 3.7 萬人線上駐足觀看。報告由美籍華裔數(shù)學(xué)家、加州大學(xué)圣塔芭芭拉分校教授張益唐教授進行講解，介紹他近期的重要科研成果。

圖｜張益唐報告的宣傳頁（來源：寇享學(xué)術(shù)）

張益唐通過線上的方式向觀眾進行講解，他僅僅使用白板和黑色馬克筆，通過手寫公式和通熟易懂的講解向大家展示了他關(guān)于朗道-西格爾零點猜想的相關(guān)證明過程，并介紹其中的創(chuàng)新之處。

張益唐表示，他已經(jīng)在本質(zhì)上可以證明朗道-西格爾零點猜想（the Landau-Siegel Zeros Conjecture），并且該項成果可以像他此前關(guān)于孿生素數(shù)猜想的研究結(jié)果一樣，有進一步被改進的空間。

圖｜張益唐在做線上報告（來源｜北大報告現(xiàn)場）

該項成果最早是在今年的 10 月 15 日，在北京大學(xué)大紐約地區(qū)校友會上，張益唐在交流座談中介紹他已成功解決朗道-西格爾零點猜想這一數(shù)學(xué)難題。并且 11 月 5 日，該成果以《離散平均估計和朗道-西格爾零點》（Discrete mean estimates and the Landau-Siegel Zero）為題發(fā)布在著名的預(yù)印本論文網(wǎng)站arXiv。

圖｜發(fā)表于 arXiv 上的《離散平均估計和朗道-西格爾零點》論文封面（來源： arXiv）

那么到底什么是朗道-西格爾零點猜想呢？其實這與著名的黎曼猜想有關(guān)，黎曼猜想是在歐拉級數(shù)的解析延拓而來的黎曼 ζ 函數(shù)。并且在復(fù)平面范圍內(nèi)，黎曼 ζ 函數(shù)的非平凡零點的實部都為二分之一。

黎曼猜想（Riemann Hypothesis）是波恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann）在 1859 年提出的一篇題為“論小于給定數(shù)值的素數(shù)個數(shù)”的論文，也就是著名的黎曼猜想的出處。

黎曼猜想發(fā)現(xiàn)了質(zhì)數(shù)分布的神奇規(guī)律，也就是黎曼 ζ 函數(shù)的非平凡零點對質(zhì)數(shù)分布起到?jīng)Q定性作用。憑借著素數(shù)的獨特性質(zhì)，黎曼猜想對諸如計算機和網(wǎng)絡(luò)、物理學(xué)，甚至神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和人工智能等等都具有重大意義。

目前，已經(jīng)有千條甚至更多的數(shù)學(xué)命題或者推論是以黎曼猜想成為為前提而提出的，因此黎曼猜想如果證明不成立將會引發(fā)災(zāi)難性的學(xué)術(shù)后果。作為黎曼猜想的推廣，狄利克雷 L-函數(shù) 1 附近的零點問題將會直接影響到黎曼猜想的正確性。

圖｜黎曼 ζ 函數(shù)（來源： arXiv）

圖｜狄利克雷 L-函數(shù)（來源： arXiv）

基于這樣的學(xué)術(shù)背景，張益唐在報告的開頭就向人們講述了什么是朗道-西格爾猜想，該猜想是由兩位數(shù)學(xué)家朗道和西格爾共同提出，他們認為 L-函數(shù)在 1 附近的一定范圍內(nèi)不等于零。如果朗道-西格爾猜想一旦被證明是錯誤的，那么就會對廣義黎曼猜想造成威脅，并且影響到黎曼猜想的正確性。

反之，如果可以證明一個確定范圍內(nèi) L-函數(shù)不等于零，也就是零點不在，那么就可以間接說明黎曼猜想是正確的。在此之前，根據(jù)西格爾定理給出的范圍并不明確，是一個隨參變化量。

圖｜根據(jù)西格爾定理確定的非零點范圍（來源： arXiv）

而張益唐的本次研究成果就是給出了一條清晰的道路來證明L-函數(shù)在 1 附近的零點是否存在問題，并且將該范圍給出了一個明確的界限。L-函數(shù)在下述區(qū)間內(nèi)不為零，這里 c2 是絕對實效正常數(shù)。

通過表達式可以看出，與完美朗道-西格爾零點猜想表述的范圍不同，這里的指數(shù)變成了-2024，雖然大于 1，但在數(shù)學(xué)意義上是沒有實質(zhì)性差別的。

圖｜張益唐在一定范圍內(nèi)確定朗道-西格爾零點不存在（來源： arXiv）

張益唐表示，在未來可以基于該工作將該指數(shù)數(shù)字盡可能的減少，甚至可能達到完美證明朗道-西格爾零點猜想。這與張益唐在 2013 年曾經(jīng)在素數(shù)理論取得的重要成就類似，他通過題為《素數(shù)間的有界間距》（Bounded Gaps Between Prime Numbers）的文章證明了存在無窮多的素數(shù)對相差 7000 萬，后人在他的研究基礎(chǔ)上修正了該差值，這份突破性工作對解決孿生素數(shù)猜想有著重要意義。

那么這次如果關(guān)于朗道-西格爾零點猜想的證明方式是正確的，那么就和孿生素數(shù)猜想的研究結(jié)果一樣，其指數(shù)數(shù)值是可以被進一步的改進。

雖然該研究成果沒有完全證明朗道-西格爾零點的不存在性，但其研究路線幾乎可以在很大區(qū)間內(nèi)證明朗道-西格爾零點猜想的正確性，對于未來解析數(shù)論發(fā)展十分有幫助。

對于張益唐這次成果的評價和重要性，張益唐的同事加州大學(xué)圣塔芭芭拉分校數(shù)論學(xué)杰弗里·斯托普（Jeffrey Stopple）曾表示，如果張益唐上一份關(guān)于孿生素數(shù)猜想的成就像一次閃電擊中的過程，那么如果這次再次成功被證明可行的話，那么其概率就像一個人被閃電擊中兩次而罕見。

根據(jù)資料顯示，張益唐祖籍為浙江平湖，于 1955 年在上海出生。1978 年，他考入北大數(shù)學(xué)系，并于 1982 年在北大繼續(xù)攻讀碩士學(xué)位，其主要研究方向就是解析數(shù)論，導(dǎo)師為著名數(shù)學(xué)家潘承彪教授。在 1985 年，他在時任北大校長的丁石孫的推薦下，在美國普渡大學(xué)攻讀博士學(xué)位。

他 2016 年接受加州大學(xué)圣巴巴拉分校的邀請，任教于該校數(shù)學(xué)系。張益唐關(guān)于朗道-西格爾零點猜想開始了。早在 2007 年，他就曾發(fā)論文研究過其證明過程。

他對于數(shù)學(xué)的熱愛和思考，以及嚴謹專注的科研精神是他成功的重要基石，他曾表示過自己一天需要 12 個小時用來思考數(shù)學(xué)問題。甚至他的夫人孫雅玲說道，曾經(jīng)需要讓他下廚房來分散以一“數(shù)學(xué)”精力。

張益唐在數(shù)論領(lǐng)域的努力和眾多成就，他先后獲得弗蘭克·奈爾森·科爾（Frank Nelson Cole）數(shù)論獎、晨興數(shù)學(xué)卓越成就獎、Rolf Schock 獎（羅夫·肖克獎）數(shù)學(xué)獎、麥克阿瑟天才獎等重要獎項。